Question

已知平面向量

a

=（sin

π

3

x，

3

），

b

=（1，cos

π

3

x），定义函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）图象上的两点M、N的横坐标分别为和3，O为坐标原点，求△MON的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）依题意利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）=2sin（

π

3

x+

π

3

），由此可得f（x）的值域．
（Ⅱ）由f（x）=2sin（

π

3

x+

π

3

），求得f（1）和f（3），求得M、N的坐标，可得|OM|、|ON|、|MN|的值，根据余弦定理得cos∠MON=0，可得∠MON=

π

2

，由此求得
△MON的面积为 S=

1

2

•OM•ON 的值．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得函数f（x）=

a

•

b

=sin

π

3

x+

3

cos

π

3

x=2sin（

π

3

x+

π

3

），
∴f（x）的值域为[-2，2]．
 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（

π

3

x+

π

3

），∴f（1）=

3

，f（3）=-

3

，
从而M （1，

3

）、N（3，-

3

），∴|OM|=2，|ON|=2

3

，|MN|=

(3-1)2+(- 3 - 3 )2

=4，
根据余弦定理得cos∠MON=

OM2+ON2-MN2

2OM•ON

=

4+12-16

2×2×2 3

=0，∴∠MON=

π

2

．
△MON的面积为 S=

1

2

•OM•ON=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的值域，余弦定理，属于中档题．