Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，则四棱锥B₁-A₁BCD₁的体积是（ ）
A．10
B．20
C．30
D．60

Answer 1

【答案】分析：以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，知，，故平面A₁BCD₁的法向量为，所以点B₁到平面A₁BCD₁的距离d==，S_{四边形A1BCD1}=5×5=25，由此能求出四棱锥B₁-A₁BCD₁的体积．
解答：解：以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，
∴A₁（5，0，3），B（5，4，0），D₁（0，0，3），B₁（5，4，3），
∴，，
设平面A₁BCD₁的法向量为，
则，∴，
∵=（0，4，0），
∴点B₁到平面A₁BCD₁的距离d==，
长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，
∴==5，
∴S_四边形A1BCD₁=A₁D₁×A₁B=5×5=25，
∴四棱锥B₁-A₁BCD₁的体积V_四棱锥B1-A₁BCD₁===20．
故选B．
点评：本题考查棱锥的体积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．