Question

17．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，短轴长为4，过点P（0，3）引直线l顺次与椭圆交于点A、B（A在B、P之间）．
（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，求三角形AOB的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据椭圆的性质列方程解出a，b即可；
（II）设直线l方程y=kx+3，与椭圆方程联立，求出k的取值范围和A，B坐标的关系，根据弦长公式计算|AB|，求出O到l的距离d，得出三角形的面积关于k的函数，利用换元法得出面积的最值．

解答 解：（I）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\\{2b=4}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=2，c=$\sqrt{5}$．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（II）设直线l的方程为y=kx+3，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消元得（4+9k²）x²+54kx+45=0，
△=54²k²-180（4+9k²）＞0，
解得k²＞$\frac{5}{9}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{54k}{4+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{45}{4+9{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12\sqrt{9{k}^{2}-5}}{4+9{k}^{2}}$．
又O到直线l的距离d=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{18\sqrt{9{k}^{2}-5}}{4+9{k}^{2}}$．
令$\sqrt{9{k}^{2}-5}$=t，则t＞0，9k²=t²+5，
∴S_△AOB=$\frac{18t}{{t}^{2}+9}$=$\frac{18}{t+\frac{9}{t}}$≤$\frac{18}{2\sqrt{t•\frac{9}{t}}}$=3．当且仅当t=$\frac{9}{t}$，即t=3时取等号．
∴三角形AOB的面积的取值范围是（0，3]．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．