Question

2．已知函数f（x）=lnx+ax²，其中a为实常数．
（1）讨论函数f（x）的极值点个数；
（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，确定导数为0方程解的个数，即可讨论函数f（x）的极值点个数；
（2）由（1）可知①当a≥0时，f（x）为增函数，至多只有一个零点，不合；②当a＜0时，要使得函数f（x）有两个零点，则须且只需f_max（x）＞0，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）定义域：（0，+∞）…（1分）$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax$…（2分）
①当a≥0时，因为x＞0，所以f'（x）＞0在定义域内恒成立，∴f（x）无极值点．…（3分）
②当a＜0时，$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax=\frac{{2a{x^2}+1}}{x}$，
令f'（x）=0，则$x=\sqrt{-\frac{1}{2a}}$或$x=-\sqrt{-\frac{1}{2a}}$（舍去）…（4分）
可知f（x）有一个极大值点，无极小值点．即极值点个数为1．…（5分）
综上，当a≥0时，f（x）无极值点，当a＜0时，有且只有一个极值点．…（6分）
（2）由（1）可知①当a≥0时，f（x）为增函数，至多只有一个零点，不合．…（7分）
②当a＜0时，${f_{max}}（x）=f（\sqrt{-\frac{1}{2a}}）=-\frac{1}{2}ln（-2a）-\frac{1}{2}$，…（8分）
当x→+∞时，f（x）→-∞；当x→0⁺时，f（x）→-∞，…（9分）
要使得函数f（x）有两个零点，则须且只需f_max（x）＞0，…（10分）
即$-\frac{1}{2}ln（-2a）-\frac{1}{2}＞0$解得$a＞-\frac{1}{2e}$，…（11分）
又a＜0，所以$-\frac{1}{2e}＜a＜0$
综上：a的取值范围是$（-\frac{1}{2e}，0）$…（12分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．