Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1．
（Ⅰ）当x=$\frac{π}{4}$时，求|a-b|的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（Ⅲ）求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{23π}{12}$]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量加减的运算法则求出a-b，化简，将x=$\frac{π}{4}$带入，求模长．
（Ⅱ）根据平面向量乘积的运算法则求出f（x），将其化简，结合三角函数的图象和性质即可得到答案．
（Ⅲ）利用三角函数的图象和性质，在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{23π}{12}$]内求出方程f（x）=k时，x的值，即可解决问题．

解答 解：（Ⅰ）由向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x），
则：a-b=（2cos²x-1，$\sqrt{3}-$sin2x）
当x=$\frac{π}{4}$时，a-b=（2cos²$\frac{π}{4}$-1，$\sqrt{3}-$sin2×$\frac{π}{4}$）
=（0，$\sqrt{3}-1$）
那么：|a-b|=$\sqrt{0+{{（\sqrt{3}-1）}^2}}=\sqrt{3}-1$
（Ⅱ）f（x）=a•b-1=1×2cos²x+$\sqrt{3}×$sin2x
=$2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x-1$
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$
由sinx的图象和性质，可知x$∈[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]$，（k∈Z）是增区间．
∴2x+$\frac{π}{6}$$∈[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]$是增区间，即：$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z）
解得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，（k∈Z）
所以，f（x）的单调增区间为：[$kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}$]，（k∈Z）
（Ⅲ） 由方程f（x）=k，（0＜k＜2），得$sin（2x+\frac{π}{6}）=\frac{k}{2}$．
∵$sin（2x+\frac{π}{6}）$的周期T=π，又$\frac{23π}{12}-（-\frac{π}{12}）=2π$，
∴$sin（2x+\frac{π}{6}）$在$[-\frac{π}{12}，\frac{23π}{12}]$内有2个周期．
∵$0＜\frac{k}{2}＜1$，∴方程$sin（2x+\frac{π}{6}）=\frac{k}{2}$在$[-\frac{π}{12}，\frac{23π}{12}]$内有4个交点，即有4个实根．
根据图象的对称性，有${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}$，${x_3}+{x_4}=\frac{7π}{3}$，
∴所有实数根之和=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=$\frac{8π}{3}$．

点评 本题考查了向量的基本运算和三角函数的结合的运用．以及利用三角函数的图象及性质解决一些题的能力，属于中档题．