Question

10．设椭圆$\frac{x^2}{m^2}$+$\frac{y^2}{n^2}$=1，双曲线$\frac{x^2}{m^2}$-$\frac{y^2}{n^2}$=1，（其中m＞n＞0）的离心率分别为e₁，e₂，则（　　）

• A． e₁•e₂＞1
• B． e₁•e₂＜1
• C． e₁•e₂=1
• D． e₁•e₂与1大小不确定

Answer 1

分析 由椭圆方程与双曲线方程分别求出椭圆与双曲线的离心率，作积后结合m＞n得答案．

解答 解：在椭圆$\frac{x^2}{m^2}$+$\frac{y^2}{n^2}$=1中，${c}_{1}=\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}$，
∴${e}_{1}=\frac{{c}_{1}}{m}=\frac{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}{m}$，
在双曲线$\frac{x^2}{m^2}$-$\frac{y^2}{n^2}$=1中，${c}_{2}=\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴${e}_{2}=\frac{{c}_{2}}{m}=\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m}$，
∴${e}_{1}•{e}_{2}=\frac{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}{m}•\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m}$=$\sqrt{\frac{{m}^{4}-{n}^{4}}{{m}^{4}}}=\sqrt{1-（\frac{n}{m}）^{4}}＜1$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查圆锥曲线离心率的求法，是基础题．