Question

15．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AA₁，AB⊥BC，点E、F分别是棱AB、BB₁的中点，则直线EF和BC₁所成的角是（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 求异面直线所成的角，通过将异面直线的一条平移与另外一条相交，即可求异面直线所成的角．取AC，BC₁的中点，M，N，连接EM，MN，FM，证明EF∥MN，那么MN与直线BC₁所成的角就是EF和BC₁所成的角．

解答 解：取AC，BC₁的中点，M，N，连接EM，MN，FN，
∵点E、F分别是棱AB、BB₁的中点，
∴EM${\;}_{=}^{∥}\frac{1}{2}$BC，FN${\;}_{=}^{∥}\frac{1}{2}$B₁C₁，
∵BC=B₁C₁
∴FN${\;}_{=}^{∥}$EM
所以：四边形EFNM是平行四边形．
则有：EF∥MN．
那么：MN与直线BC₁所成的∠BNM就是EF和BC₁所成的角．
设：AB=BC=AA₁=a，作BC中点G，连接MB，NG，GM．
BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，NM=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
△BNM是等边三角形，∠BNM=60°，即EF和BC₁所成的角为60°．
故选：C．

点评 本题考查了求异面直线所成的角的证明和计算，属于基础题．