Question

已知函数f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|．
（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；
（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由g（x）≤5⇒-2≤x≤3，f（x）≤6⇒a-3≤x≤3，利用g（x）≤5是f（x）≤6的充分条件即可求得a的取值范围，继而可得其最大值；
（Ⅱ）依题意，知|a-1|+a≥3，通过对参数a的范围的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）≤5?|2x-1|≤5?-5≤2x-1≤5?-2≤x≤3；
f（x）≤6?|2x-a|≤6-a?a-6≤2x-a≤6-a?a-3≤x≤3．
依题意有，a-3≤-2，即a≤1．
故a的最大值为1．…（6分）
（Ⅱ）f（x）+g（x）=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a≥|a-1|+a，
当且仅当（2x-a）（2x-1）≥0时等号成立．
解不等式|a-1|+a≥3，
当a≥1时，2a-1≥3，解得a≥2；
当a＜1时，1≥3，这不可能；
综上所述，a≥2．
∴a的取值范围是[2，+∞）…（10分）

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的解法，通过对参数a的范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．