Question

15．（理科答）已知数列{a_n}及等差数列{b_n}，若a₁=3，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），a₁=b₂，2a₃+a₂=b₄，
（1）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（2）求数列{a_n}及数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1的两边减2，再由等比数列的定义即可得证；
（2）运用等比数列和等差数列的通项公式，计算即可得到；
（3）求得a_n•b_n=[2+（$\frac{1}{2}$）^n-1]（2n-1）=2（2n-1）+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 证明：（1）a₁=3，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），
a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），
则数列{a_n-2}为首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列；
解：（2）由（1）可得a_n-2=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即为a_n=2+（$\frac{1}{2}$）^n-1，
a₁=b₂=3，
2a₃+a₂=b₄=2（2+$\frac{1}{4}$）+2+$\frac{1}{2}$=7，
可得等差数列{b_n}的公差d=$\frac{7-3}{4-2}$=2，
则b_n=b₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
（3）数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，
a_n•b_n=[2+（$\frac{1}{2}$）^n-1]（2n-1）=2（2n-1）+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
设S_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+3•（$\frac{1}{2}$）+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
相减可得，$\frac{1}{2}$S_n=1+2[（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=1+2[$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得S_n=6-$\frac{4n+6}{{2}^{n}}$，
则T_n=2•$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）+6-$\frac{4n+6}{{2}^{n}}$=2n²+6-$\frac{4n+6}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查化简整理的能力，属于中档题．