Question

【题目】如图，已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）不过点的动直线与椭圆相交于两点，且．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）直线过定点．

【解析】

（1）把圆方程化为标准方程得圆心坐标和圆半径，写出直线方程，由直线与圆相切可求得，再由得，从而可得椭圆标准方程；

（2）利用得，从而与轴不垂直，可设其方程为，代入椭圆方程得点坐标，同理可得点坐标（直线的方程为），写出直线的方程，整理为形式可知其是否过定点．

（Ⅰ）解：将圆的一般方程化为标准方程，

圆的圆心为，半径

由，得直线，即，

由直线与圆相切，得，∴

∴，∴椭圆的方程为；

（Ⅱ）证明：∵，∴，从而直线与坐标轴不垂直，

由可设直线的方程为，则直线的方程为

将代入椭圆的方程，整理得：，

解得或，因此的坐标为，

即

将上式中的换成，得

∴直线的斜率为

直线的方程为

化简得直线的方程为，因此直线过定点．