Question

16．命题p：关于x的不等式x²-ax+1＞0对一切x∈R恒成立，q：指数函数f（x）=（4-3a）^x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据一元二次不等式的恒成立的条件求出命题P为真命题的a的范围；根据指数函数的单调性求出命题q为真命题的a范围，再根据复合命题的真值表分析求解即可

解答 解：命题p：关于x的不等式x²-ax+1＞0对一切x∈R恒成立，
则△=a²-4＜0，解得：-2＜a＜2；
命题q：指数函数f（x）=（4-3a）^x是增函数，
则4-3a＞1，解得：a＜1，
若p或q为真，p且q为假，
则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a≥1}\end{array}\right.$，∴1≤a＜2，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥2}\\{a＜1}\end{array}\right.$，∴a≤-2，
综上，a的范围是[1，2）∪（-∞，-2]．

点评 本题通过考查复合命题的真假，考查指数函数的单调性与一元二次不等式的恒成立问题．