Question

10．已知抛物线C：y=x²，点P（0，2），A、B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1．
（1）若直线AB的倾斜角为$\frac{π}{3}$，求直线AB的方程；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由直线AB的倾斜角为$\frac{π}{3}$设出直线AB的方程，
根据点P到直线AB的距离求出m的值，从而写出直线方程；
（2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，
利用根与系数的关系和点P到直线AB的距离，
得出k、m的关系，再求|AB|²的最小值即可．

解答 解：（1）由直线AB的倾斜角为$\frac{π}{3}$，tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
设直线AB的方程为：y=$\sqrt{3}$x+m，
则点P（0，2）到直线AB的距离为
d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{1{+（\sqrt{3}）}^{2}}}$=1，
解得m=0或m=4；
∴直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$x或y=$\sqrt{3}$x+4；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，
则点P到直线AB的距离为d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1，
即k²+1=（m-2）²；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y{=x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得x²-kx-m=0，
由根与系数的关系得x₁+x₂=k，x₁x₂=-m；
∴|AB|²=（1+k²）[${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-4x₁x₂]=（1+k²）（k²+4m）=（m-2）²（m²+3），
设f（m）=（m-2）²（m²+3），
则f′（m）=2（m-2）（2m²-2m+3），
又k²+1=（m-2）²≥1，
∴m≤1或m≥3，
∴当m∈（-∞，1]时，f′（m）＜0，f（m）是单调减函数；
当m∈[3，+∞）时，f′（m）＞0，f（m）是单调增函数；
∴f（m）_min=f（1）=4，
∴|AB|的最小值为2．

点评 本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了函数最值的应用问题，是中档题．