Question

已知椭圆C以双曲线x²-

y2

3

=1的焦点为顶点，顶点为焦点且过椭圆右焦点F，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（1）椭圆C的方程
（2）若

AF

=2

FB

，求直线l的斜率k
（3）若椭圆左顶点为M，求△MAB的面积S的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线的焦点，顶点，即有椭圆的c=1，a=2，进而得到b，则有椭圆的方程；
（2）求出椭圆的右焦点，设出直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和向量共线的知识，即可得到直线的斜率；
（3）求出椭圆的左顶点，△MAB的面积S=S_△MAF+S_△MBF=

1

2

×3|y₁-y₂|，再由（2），化简可得S═

3

2

•|k|•

12 1+k2

3+4k2

，令t=3+4k²（t≥3），则k²=

t-3

4

，转化为t的函数，再由二次函数的值域求法，即可得到所求范围．

解答： 解：（1）双曲线x²-

y2

3

=1的焦点为（-2，0），（2，0），
顶点为（-1，0），（1，0），
则由题意可得，椭圆的焦点在x轴上，且c=1，a=2，b=

a2-c2

=

3

，
即有椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）椭圆的右焦点F（1，0），
设直线l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程消y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

①，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

②，
∵

AF

=2

FB

，∴1-x₁=2（x₂-1）③
联立①②③可得k=±

5

2

；
（3）椭圆左顶点为M（-2，0），
△MAB的面积S=S_△MAF+S_△MBF=

1

2

×3|y₁-y₂|
=

3

2

•|k|•|x₁-x₂|=

3

2

|k|•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

2

|k|

64k4 (3+4k2)2 - 16(k2-3) 3+4k2

=

3

2

•|k|•

12 1+k2

3+4k2

，
令t=3+4k²（t≥3），则k²=

t-3

4

，
S=18•

1

4

(t-3)(t+1)

t

=

9

2

4 3 -3( 1 t + 1 3 )2

，
由于t≥3，则0＜

1

t

≤

1

3

，
则有0＜S＜

9

2

．
即△MAB的面积S的取值范围是（0，

9

2

）．

点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查向量共线的坐标表示，考查学生的计算能力，属于中档题．