Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，a∈R．
（1）若函数f（x）在（-∞，+∞）上至少有一个零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在[a+1，a+2]上的最大值为3，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由判别式大于或等于零，求得a的范围．
（2）函数f（x）的图象对称轴方程为x=2，再分对称轴在区间中间值的左侧、右侧两种情况，分别求得函数的最大值，再根据函数的最大值为3，求得a的值．

解答： 解：（1）由函数f（x）=x²-4x+a+3，a∈R在（-∞，+∞）上至少有一个零点，可得△=16-4（a+3）≥0，
求得a≤1．
（2）由于函数f（x）的图象对称轴方程为x=2，当2≤

a+1+a+2

2

，
即a≥

1

2

时，f（x）在[a+1，a+2]上的最大值为f（a+2）=a²+a-1=3，求得a=

-1+ 17

2

．
当2＞

a+1+a+2

2

，即 a＜

1

2

时，f（x）在[a+1，a+2]上的最大值为f（a）=a²-3a+3=3，求得a=0．
综上，a=

-1+ 17

2

，或a=0．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．