Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）若b_n=2^n-1，n∈N^*，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n=4n-1，n∈N^*．
（2）由a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，n∈N^*，利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=2n²+n，n∈N^*，
∴当n=1时，S₁=a₁=2+1=3，（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，n∈N^*．
当n=1时，上式成立，
∴a_n=4n-1，n∈N^*．（5分）
（2）由（1）知a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，n∈N^*，（7分）
∴Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)•2n-1，①
2T_n=3×2+7×2²+11×2³+…+（4n-1）•2ⁿ，②
②-①，得T_n=（4n-1）•2ⁿ-[3+4（2+2²+…+2^n-1）]
=（4n-1）•2ⁿ-3-4×

2(1-2n-1)

1-2

=（4n-5）•2ⁿ+5．
故T_n=（4n-5）•2ⁿ+5，n∈N^*．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．