Question

设F₁，F₂是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）得左右焦点，过F₁斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，可得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，利用椭圆定义可得|AB|=

4

3

a．设l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0（*），利用韦达定理可得

4

3

a，从而可求E的离心率． 
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化为3y²-2by-b²=0，根据|PA|=|PB|知PM为AB的中垂线，可得k_PM=-1，从而可求b=3，进而可求椭圆C的方程．

解答： 解：（1）∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，
所以，|AB|=

4

3

a．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，
代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）
则|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（y₁-y₂）²=2[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=2[（

2b2c

a2+b2

）²+

4b2

a2+b2

]=

16a2b4

(a2+b2)2

，
于是有

4

3

a=

4ab2

a2+b2

，化简得a=

2

b，故e=

2

2

．
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化为3y²-2by-b²=0，
设AB中点为M（x₀，y₀），则y₀=

1

2

（y₁+y₂）=

b

3

，
又M∈l，于是x₀=y₀-c=-

2b

3

，
由|PA|=|PB|，知PM为AB的中垂线，k_PM=-1，
由P（0，-1），得-1=

b 3 +1

- 2b 3

，解得b=3，a²=18，
故椭圆C的方程为

x2

18

+

y2

9

=1．

点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查等差数列的性质，考查两点间的距离公式，解题的关键是利用PM为AB的中垂线，求得斜率为-1．