Question

（1）已知x＞0、y＞0，且

1

x

+

9

y

=1，求x+y的最小值．
（2）设a、b、c＞0，证明：

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
（2）利用基本不等式，即可证明结论．

解答： （1）解：∵x＞0、y＞0，且

1

x

+

9

y

=1，
∴x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

）=

y

x

+

9x

y

+10≥6+10=16．
当且仅当

y

x

=

9x

y

时，上式等号成立，又

1

x

+

9

y

=1，
可得x=4，y=12时，（x+y）_min=16．
（2）证明：∵a、b、c＞0，
∴

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，
∴

a2

b

+b+

b2

c

+c+

c2

a

+a≥2a+2b+2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c．

点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于中档题．