Question

已知函数f（x）=2sinx•cos（x-

π

3

）+asin（2x+

π

3

）（a为常数）的图象经过点（

π

6

，

3

）
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥0．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知可得2sin

π

6

cos（-

π

6

）+asin

2π

3

=

3

，从而解得a=1，由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x+

3

2

，由周期公式即可求最小正周期T．
（2）由f（x）≥0，知：sin2x≥-

3

2

，由正弦函数的图象解得2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

4π

3

（k∈Z），即可得f（x）≥0的解集．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sinx•cos（x-

π

3

）+asin（2x+

π

3

）（a为常数）的图象经过点（

π

6

，

3

），
则有：2sin

π

6

cos（-

π

6

）+asin

2π

3

=

3

，
故解得：a=1，
∴f（x）=2sinx•cos（x-

π

3

）+sin（2x+

π

3

），
=2sinx（cosxcos

π

3

+sinxsin

π

3

）+sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

，
=2sin2xcos

π

3

+（2sin²x+cos2x）sin

π

3

，
=sin2x+sin

π

3

，
=sin2x+

3

2

，
∴最小正周期T=

2π

2

=π…6分
（2）由f（x）≥0，知：sin2x≥-

3

2

，
∴2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

4π

3

（k∈Z），
∴f（x）≥0的解集为：[kπ-

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）…12分

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．