Question

（文科）设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设{c_n}=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，利用S_n=2n²，能求出a_n=4n-2．利用等比数列的通项公式，由已知条件求出首项和公比，由此能求出b_n=2×(

1

4

)n-1．
（2）由cn=

an

bn

=

4n-2

2×( 1 4 )n-1

=（2n-1）•4^n-1，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，
∴当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
当n=1时，上式成立，
∴a_n=4n-2．
∵{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，
∴

b1=2 b2(6-2)=b1

，解得b1=2，b2=

1

2

，
∴q=

b2

b1

=

1

4

，∴b_n=2×(

1

4

)n-1．
（2）由（1）可得，cn=

an

bn

=

4n-2

2×( 1 4 )n-1

=（2n-1）•4^n-1，
∴T_n=1+3•4+5•4²+…+（2n-1）•4^n-1，①
则4T_n=4+3•4²+5•4³+…+（2n-1）•4ⁿ，②
由①-②得，-3T_n=1+2•4+2•4²+…+2•4^n-1-（2n-1）•4ⁿ
=1+

2×4(1-4n-1)

1-4

-(2n-1)•4n
=-（2n-

5

3

）•4ⁿ-

5

3

，
∴T_n=（

2

3

n-

5

9

）•4ⁿ+

5

9

．

点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．