Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₃=10，S₄=24．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，求证：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出a_n=2n+1．
（2）由S_n=

n(a1+an)

2

=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），利用裂项求和法能证明T_n＜

3

4

．

解答： （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₃=10，S₄=24，
∴

2a1+2d=10 4a1+ 4×3 2 d=24

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）证明：由（1）得S_n=

n(a1+an)

2

=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]…（10分）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)…（12分）
＜

3

4

．…（14分）

点评：本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要裂项求和法的合理运用．