Question

对于方程为

1

|x|

+

1

|y|

=1的曲线C给出以下三个命题：
（1）曲线C关于原点中心对称；
（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；
（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2；
其中正确的命题是（　　）

• A、（1）（2）
• B、（1）（3）
• C、（2）（3）
• D、（1）（2）（3）；

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,曲线与方程

专题：作图题,简易逻辑

分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四类讨论，作出

1

|x|

+

1

|y|

=1的图象，再分别对选项（1）（2）（3）判断即可．

解答： 解：∵

1

|x|

+

1

|y|

=1，
∴当x＞0，y＞0时，

1

|x|

+

1

|y|

=1⇒

1

x

+

1

y

=1，解得y=

x

x-1

=1+

1

x-1

；
同理可得，当x＜0，y＞0时，

1

|x|

+

1

|y|

=1⇒-

1

x

+

1

y

=1，整理得：y=1-

1

x+1

；
当x＜0，y＜0时，

1

|x|

+

1

|y|

=1⇒-

1

x

-

1

y

=1，整理得：y=-1+

1

x+1

；
x＞0，y＜0时，

1

|x|

+

1

|y|

=1⇒

1

x

-

1

y

=1，整理得：y=-1-

1

x-1

；
作出图象如下：

由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；
曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=-x对称，故（2）错误；
由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；
综上所述，（1）（3）正确．
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查曲线与方程的理解与应用，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．