Question

数列{a_n}中，满足a₂=4，a₃=6，其前n项和S_n满足S_n=an²+bn（a，b∈R）．
（1）求实数a，b的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

Sn

+b_n}是首项为a，公比为2b的等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₂=4，a₃=6，其前n项和S_n满足S_n=an²+bn，利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

列出方程组能求出a=1，b=1，从而S_n=n²+n，再由公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能求出a_n=2n．
（2）由已知得

1

n2+n

+bn=2^n-1，从而bn=2n-1+

1

n

-

1

n+1

，由此利用分组求和法和裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}中，满足a₂=4，a₃=6，其前n项和S_n满足S_n=an²+bn（a，b∈R），
∴

S2-S1=(4a+2b)-(a+b)=4 S3-S2=(9a+3b)-(4a+2b)=6

，
解得a=1，b=1，∴S_n=n²+n，
∴a₁=S₁=1+1=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
当n=1时，上式成立，
∴a_n=2n．
（2）∵数列{

1

Sn

+b_n}是首项为a，公比为2b的等比数列，
∴

1

n2+n

+bn=2^n-1，∴bn=2n-1+

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=（1+2+2²+2³+…+2^n-1）+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1-2n

1-2

+(1-

1

n+1

)
=2ⁿ-

1

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法和裂项求和法的合理运用．