Question

已知函数f（x）=log₃（ax+b）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析与定义域；
（2）设F（x）=log₃（

x

9

）•log₃（3x），求F（x）在[

1

9

，9]上的最大值及其相对应的x值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把A（2，1）、B（5，2）两点坐标代入f（x）的解析式，可得a、b的值，从而求得f（x）的解析式．
（2）设t=log₃x，F（x）可转化为y=t²-t-2=(t-

1

2

)2-

9

4

（-2≤t≤2），再利用二次函数的性质求得函数的最大值及其相对应的x值．

解答： 解：（1）把图象中A（2，1）、B（5，2）两点坐标代入f（x）=log₃（ax+b），
化简可得2a+b=3 且5a+b=9，解得a=2，b=-1，
故f（x）=log3（2x-1），令2x-1＞0，求得函数的定义域为（

1

2

，+∞）．
（2）F（x）=log₃（

x

9

）•log₃（3x）=（log₃x-2）•（log₃x+1），
设t=log₃x，x∈[

1

9

，9]，则-2≤t≤2，∴F（x）可转化为y=t²-t-2=(t-

1

2

)2-

9

4

（-2≤t≤2），
∴当t=

1

2

时，y_min=-

9

4

，此时x=3；当t=-2时，y_max=4，此时x=

1

9

．
综上知，当x=

1

9

时，最大值为F（

1

9

）=4．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，对数的运算性质、复合函数的单调性，二次函数的性质的用用，体现了转化的数学思想，属于中档题．