Question

设数列{a_n}满足a₁=0且a_n+1=

1

2-an

．n∈N^*．
（1）求证数列{

1

1-an

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1- an+1

n

，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：S_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把an+1=

1

2-an

代入

1

1-an+1

-

1

1-an

，能推导出

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，由此能证明数列{

1

1-an

}是公差为1的等差数列，从而能求出an=1-

1

n

．
（2）由bn=

1- an+1

n

=

n+1 - n

n+1 • n

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法能证明S_n＜1．

解答： （1）解：∵an+1=

1

2-an

，
∴

1

1-an+1

-

1

1-an

=

1

1- 1 2-an

-

1

2-an

=

2-an

1-an

-

1

2-an

=1，
∴

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，
∴数列{

1

1-an

}是公差为1的等差数列．
又

1

1-a1

=1，  故

1

1-an

=n，
所以an=1-

1

n

．
（2）证明：由（1）得bn=

1- an+1

n

=

n+1 - n

n+1 • n

=

1

n

-

1

n+1

，Sn=

n

k=1

bk=

n

k=1

(

1

k

-

1

k+1

)=1-

1

n+1

＜1．
∴S_n＜1．

点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查等差数列的证明，证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明．