Question

已知函数f（x）=2sin

x

2

cos

x

2

-2

3

sin²

x

2

+

3

（1）求函数f（x）的单调减区间
（2）已知α∈（

π

6

，

2π

3

），且f（α）=

6

5

，求f（α-

π

6

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（x+

π

3

），解不等式2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

可得单调减区间；
（2）由题意易得sin（α+

π

3

）=

3

5

，∴cos（α+

π

3

）=-

4

5

，而f（α-

π

6

）=2sin（α+

π

3

）cos

π

6

-2cos（α+

π

3

）sin

π

6

，代值计算可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=2sin

x

2

cos

x

2

-2

3

sin²

x

2

+

3

=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），
由2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

可得2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

，
∴函数f（x）的单调减区间为：[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]（k∈Z）
（2）∵α∈（

π

6

，

2π

3

），且f（α）=2sin（α+

π

3

）=

6

5

，
∴sin（α+

π

3

）=

3

5

，∴cos（α+

π

3

）=-

4

5

∴f（α-

π

6

）=2sin（α-

π

6

+

π

3

）=2sin（α+

π

3

-

π

6

）
=2sin（α+

π

3

）cos

π

6

-2cos（α+

π

3

）sin

π

6

=2×

3

5

×

3

2

-2×(-

4

5

)×

1

2

=

4+3 3

5

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和同角三角函数的基本关系，属基础题．