Question

已知函数y=3x+

13

4

的图象上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），其中数列{x_n}为等差数列，满足x₂=-

7

2

，x₅=-

13

2

．
（Ⅰ）求点P_n的坐标；
（Ⅱ）若抛物线列C₁，C₂，…，C_n分别以点P₁，P₂，…，P_n为顶点，且任意一条的对称轴均平行于y轴，C_n与y轴的交点为A_n（0，n²+1），记与抛物线C_n相切于点A_n的直线的斜率为k_n，求数列{

1

kn+1kn

}前n项的和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）设等差数列{x_n}的公差为d，可得d=

x5-x2

3

，利用等差数列的通项公式可得x_n，进而得到y_n．
（II）由题意可设以P_n为顶点的抛物线C_n的方程为：y=a(x+

2n+3

2

)2-

5+12n

4

，由于C_n与y轴的交点为A_n（0，n²+1），代入解得a=1，可得以P_n为顶点的抛物线方程为：y=(x+

2n+3

2

)2-

5+12n

4

，利用导数的几何意义可得切线的斜率，再利用“裂项求和”即可得出S_n．

解答： 解：（I）设等差数列{x_n}的公差为d，
∵x₂=-

7

2

，x₅=-

13

2

，
∴d=

x5-x2

3

=

- 13 2 -(- 7 2 )

3

=-1．
∴x_n=x₂+（n-2）d=-

7

2

-（n-2）=-

2n+3

2

．
∴y_n=3xn+

13

4

=-

5+12n

4

．
∴P_n(-

2n+3

2

，-

5+12n

4

)．
（II）由题意可设以P_n为顶点的抛物线方程为：y=a(x+

2n+3

2

)2-

5+12n

4

，
∵C_n与y轴的交点为A_n（0，n²+1），
∴n²+1=a(

2n+3

2

)2-

5+12n

4

，
解得a=1，
∴以P_n为顶点的抛物线方程为：y=(x+

2n+3

2

)2-

5+12n

4

，
y′=2(x+

2n+3

2

)，
∴y′（x=0）=2n+3=k_n，
∴k_n+1=2n+5．
∴

1

kn•kn+1

=

1

(2n+3)(2n+5)

=

1

2

(

1

2n+3

-

1

2n+5

)，
∴数列{

1

kn+1kn

}前n项的和S_n=

1

2

[(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)+…+(

1

2n+3

-

1

2n+5

)]
=

1

2

(

1

5

-

1

2n+5

)
=

n

10n+25

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、抛物线的标准方程及其性质、导数的几何意义、抛物线的切线方程、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．