Question

已知等比数列{a_n}满足，a₁=1，2a₃=a₂
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，若点（n，S_n）在函数f（x）=

1

2

x2+

3

2

x的图象上，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的定义及其通项公式即可得出；
（2）由点（n，S_n）在函数f(x)=

1

2

x2+

3

2

x的图象上，可得Sn=

1

2

n2+

3

2

n，利用递推式可得b_n．再利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}公比为q，
∵2a₃=a₂，∴q=

1

2

．
∴数列{a_n}通项公式为：an=

1

2n-1

．
（2）∵点（n，S_n）在函数f(x)=

1

2

x2+

3

2

x的图象上，
∴Sn=

1

2

n2+

3

2

n，
当n=1时，b₁=S₁=2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

3

2

n-(

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1))=n+1，
当n=1时也满足上式，
∴b_n=n+1．
∴anbn=(n+1)

1

2n-1

，
Tn=2+3×

1

2

+4×

1

22

+5×

1

23

+…+(n+1)×

1

2n-1

…..（1）

1

2

Tn=2×

1

2

+3×

1

22

+4×

1

23

+5×

1

24

+…+(n+1)×

1

2n

…．（2）
（1）-（2）得：

1

2

Tn=2+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n-1

-(n+1)×

1

2n

，

1

2

Tn=2+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(n+1)×

1

2n

，
整理得

1

2

Tn=3-(n+3)×

1

2n

．
故：Tn=6-(n+3)×

1

2n-1

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．