Question

已知函数f（x）=2x³-2tx+t（t∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=x平行，求实数t的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，1]，都有|f（x）|≤5成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导函数，因为切线与直线y=x平行得到两条直线斜率相等，得到切线的斜率为1即f′（1）=1，解出t即可；
（Ⅱ）对参数t进行分类讨论，利用函数的单调性求出问题的答案．

解答： 解：（Ⅰ） 由于函数f（x）=2x³-2tx+t（t∈R）．
则f′（x）=6x²-2t，
又由曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=x平行，则f′（1）=1，解得t=

5

2

，
故实数t的值为

5

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=6x²-2t，
（1）当t≤0，函数f（x）在（0，1]单调递增，

f(1)=2-t≤5 f(0)=t≥-5

，
解得-3≤t≤0，
（2）当t≥3，函数f（x）在（0，1]单调递减，

f(1)=2-t≥-5 f(0)=t≤5

，
解得3≤t≤5，
（3）当0＜t＜3，函数函数f（x）在(0，

t 3

)上递减及(

t 3

，1)上递增，
此时

f(1)=2-t≥-5 f(0)=t≤5

，恒成立，f（x）=2x³-2tx+t＞0-2t+t=-t＞5，
当实数t的取值范围为3≤t≤5时，对任意的x∈[0，1]，都有|f（x）|≤5成立．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题的解决，考查分类讨论思想、转化思想．