Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=1，（n²+2n）a_n-n²a_n-1=0（n∈N^*，n≥2），则a_n=$\frac{6}{（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 由a₁=1，（n²+2n）a_n-n²a_n-1=0（n∈N^*，n≥2），可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+2}$，利用“累乘求积”方法即可得出．

解答 解：∵a₁=1，（n²+2n）a_n-n²a_n-1=0（n∈N^*，n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+2}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n}{n+2}$$•\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…•$\frac{2}{4}$×1=$\frac{6}{（n+1）（n+2）}$，（n=1时也成立）．
故答案为：$\frac{6}{（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．