Question

9．已知直线l是曲线C₁：y=x²与曲线C₂：y=lnx，x∈（0，1）的一条公切线，若直线l与曲线C₁的切点为P，则点P的横坐标t满足（　　）

• A． 0＜t＜$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$＜t＜1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$＜t＜$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$＜t＜$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设P（t，t²），切线与曲线C₂的交点为（s，lns）（0＜s＜1），分别求得函数的导数和切线的斜率及方程，运用两直线重合的条件，消去s，可得t²-ln（2t）-1=0，令f（t）=t²-ln（2t）-1，t＞$\frac{1}{2}$，再由零点存在定理，即可判断t的范围．

解答 解：设P（t，t²），切线与曲线C₂的交点为（s，lns）（0＜s＜1），
y=x²的导数为y′=2x，即有切线的斜率为2t，
可得直线l的方程为y-t²=2t（x-t），即为y=2tx-t²；
y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$，即有切线的斜率为$\frac{1}{s}$，
可得切线的方程为y-lns=$\frac{1}{s}$（x-s），即为y=$\frac{1}{s}$x+lns-1．
则有2t=$\frac{1}{s}$，-t²=lns-1，0＜s＜1，t＞$\frac{1}{2}$，
可得t²-ln（2t）-1=0，令f（t）=t²-ln（2t）-1，
f′（t）=2t-$\frac{1}{t}$=$\frac{2（t-\frac{\sqrt{2}}{2}）（t+\frac{\sqrt{2}}{2}）}{t}$，
即有f（t）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）递减，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）递增，
由f（$\sqrt{2}$）=2-ln（2$\sqrt{2}$）-1＜0，f（$\sqrt{3}$）=3-ln（2$\sqrt{3}$）-1＞0，
可得f（t）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）内存在一个零点．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查直线方程的运用，以及函数方程的转化思想和函数零点存在定理的运用，属于中档题．