Question

17．（1-x+x²）¹⁰的展开式中x³的系数为（　　）

• A． -30
• B． 30
• C． -210
• D． 210

Answer 1

分析 先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得x³项的系数．

解答 解：（1-x+x²）¹⁰=[（x²-x）+1]¹⁰ 的展开式的通项公式为T_r+1=C₁₀^r（x²-x）^10-r．
对于（x²-x）^10-r，通项公式为T_r′+1=（-1）^r′C₁₀^r（x²-x）^20-2r-2r′．
令20-2r-r′=3，根据0≤r′≤10-r，r、r′为自然数，求得$\left\{\begin{array}{l}{r=8}\\{r′=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=7}\\{r′=3}\end{array}\right.$．
∴（x²-x+1）¹⁰展开式中x³项的系数为C₁₀⁸C₂¹•（-1）+C₁₀⁷C₃³•（-1）=-90-120=-210，
故选：C．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．