Question

18．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$ωx）•cos（$\frac{1}{2}$ωx）+2cos²（$\frac{1}{2}$ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式化简函数的解析式，利用函数的周期即可求ω的值；
（Ⅱ）通过x的范围$[0，\frac{π}{2}]$，求出相位的范围，利用正弦函数的性质求解函数的最大值和最小值

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$ωx）•cos（$\frac{1}{2}$ωx）+2cos²（$\frac{1}{2}$ωx），
所以$f（x）=\sqrt{3}sinωx+cosωx+1=2sin（ωx+\frac{π}{6}）+1$，
又f（x）的最小正周期为$\pi$，所以$\pi$=$\frac{2π}{ω}$，即$\omega$=2．---------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
因为$0≤x≤\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$．
由正弦函数的性质可知，当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$ 时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（$\frac{π}{6}$ ）=3；
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$ 时，即$x=\frac{π}{2}$ 时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（$\frac{π}{2}$ ）=0．------13分

点评 本题考查我不就是广东应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．