Question

20．已知sinαcosα=$\frac{1}{8}$，且α是第三象限角．
求$\frac{{1-{{cos}^2}α}}{{cos（\frac{3π}{2}-α）+cosα}}$+$\frac{{sin（α-\frac{7π}{2}）+sin（2017π-α）}}{{{{tan}^2}α-1}}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系、诱导公式把要求的式子化为-（sinα+cosα），再根据sinαcosα=$\frac{1}{8}$，且α是第三象限角求得sinα+cosα的值，可得原式的值．

解答 解：原式=$\frac{{{{sin}^2}α}}{-sinα+cosα}+\frac{cosα+sinα}{{\frac{{{{sin}^2}α-{{cos}^2}α}}{{{{cos}^2}α}}}}$=$\frac{{-{{sin}^2}α}}{sinα-cosα}+\frac{{（cosα+sinα）{{cos}^2}α}}{{{{sin}^2}α-{{cos}^2}α}}$=$\frac{{-{{sin}^2}α}}{sinα-cosα}+\frac{{{{cos}^2}α}}{sinα-cosα}$=$\frac{{{{cos}^2}α-{{sin}^2}α}}{sinα-cosα}=-（sinα+cosα）$，
∵$sinαcosα=\frac{1}{8}$，∴${（sinα+cosα）^2}=1+2sinαcosα=\frac{5}{4}$．
∵α是第三象限的角，
∴sinα＜0，cosα＜0，∴$sinα+cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴原式=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．