Question

4．已知定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=alnx+$\frac{1}{ax}$（a＞0），且函数f（x）在x=1处的切线斜率为$\frac{3}{2}$，则方程f（x）=0的实数根的个数为（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，由切线的斜率解方程可得a=2，当x＞0时，由f（x）=0，即为4xlnx+1=0，令g（x）=4xlnx+1，求出导数，求得单调区间和极值、最小值，运用零点存在定理，可得g（x）有两个零点，即x＞0时，f（x）=0有两个不等实根，由奇函数的性质可得f（x）=0的实根的个数，

解答 解：f（x）=alnx+$\frac{1}{ax}$的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{a{x}^{2}}$，a＞0，
可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=2，可得f（x）=2lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，
由f（x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，
当x＞0时，由f（x）=0，即为4xlnx+1=0，
令g（x）=4xlnx+1，g′（x）=4（1+lnx），
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，g′（x）＜0，g（x）递减，
当x＞$\frac{1}{e}$时，g′（x）＞0，g（x）递增．
可得x=$\frac{1}{e}$处g（x）取得极小值，且为最小值1-$\frac{4}{e}$＜0，
当x趋向于0时，g（x）趋向于1，g（$\frac{1}{e}$）＜0，g（1）=1＞0，
可得g（x）=0有两个不等的实根，即f（x）=0有两个实根；
由奇函数的图象关于原点对称，
可得x＜0时，f（x）=0也有两个不等的实根．
综上可得f（x）=0共有5个实根．
故选：D．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性的运用，考查函数方程的转化思想，注意运用导数求出单调区间和极值、最值，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．