Question

10．设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，若$\overrightarrow a$=（1，2），2$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$=（-1，2），则cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，根据条件即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而得出向量$\overrightarrow{b}$的坐标，根据$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$的值，代入向量夹角的余弦公式即可求出cosθ．

解答 解：设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，则$2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=2（x，y）-（1，2）=（2x-1，2y-2）=（-1，2）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-1=-1}\\{2y-2=2}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{b}=（0，2）$；
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{4}{\sqrt{5}•2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 考查向量坐标的数乘和减法运算，向量坐标的数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式．