Question

20．如图，已知椭圆C$：\;\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与直线l：y=$\frac{1}{2}$x+1交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，B点坐标为（-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}}$），求椭圆的标准方程；
（2）若直线OA、OB的斜率分别为k₁、k₂，且k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，求证：椭圆恒过定点，并求出所有定点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意列方程组解出a，b；
（2）联立方程组，利用根与系数的关系得出k₁k₂，根据k₁k₂=-$\frac{1}{4}$得出a，b的关系，即可得出椭圆的定点．

解答 解：（1）由题设，知$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以a²=2c²=2（a²-b²），
即a²=2b²（1）
又点B$（{-\frac{4}{3}，\frac{1}{3}}）$在椭圆$C\;：\;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，
所以$\frac{{{{（{-\frac{4}{3}}）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（{\frac{1}{3}}）}^2}}}{b^2}=1$（2）…（3分）
由（1）（2）联列方程组，解得a²=2，b²=1．
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．         …（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+1\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$，消y得 $（{b^2}+\frac{1}{4}{a^2}）{x^2}+{a^2}x+{a^2}-{a^2}{b^2}=0$．
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{a^2}{{{b^2}+\frac{1}{4}{a^2}}}，\;{x_1}{x_2}=\frac{{{a^2}-{a^2}{b^2}}}{{{b^2}+\frac{1}{4}{a^2}}}$．       …（8分）
所以${y_1}{y_2}=（\frac{1}{2}{x_1}+1）（\frac{1}{2}{x_2}+1）=\frac{1}{4}{x_1}{x_2}+\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）+1$．
因为${k_1}{k_2}=\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=-\frac{1}{4}$，
所以x₁x₂+4y₁y₂=0即2[x₁x₂+（x₁+x₂）]+4=0，…（10分）
所以2a²b²=4b²+a²即$\frac{2}{a^2}+\frac{{\frac{1}{2}}}{b^2}=1$．…（14分）
故椭圆恒过定点$（{±\sqrt{2}，±\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．…（16分）

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．