Question

【题目】如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，是的中点，且.

（1）求证：平面；

（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）首先利用三角形全等得到，推导出，利用勾股定理得到，由此能证明平面；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）如图所示，

因为为等边三角形，所以，

由，得，所以，

即为等腰直角三角形，从而为直角，

又为底边中点，所以.

令，则，易得，

所以，从而，

又为平面内两相交直线，

所以平面.

（2）由题意可知，即到平面的距离相等，

所以点为的中点，

以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系.

设，则，

易得.

设平面的法向量为，平面的法向量为，则

，取；，取，

设二面角的大小为，易知为锐角，

则，

所以二面角的余弦值为.