【题目】已知椭圆:
的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
(1)求的方程;
(2)设为
的左焦点,
为直线
上任意一点,过点
作
的垂线交
于两点
,
.
(i)证明:平分线段
(其中
为坐标原点);
(ii)当取最小值时,求点
的坐标。
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)由已知,根据椭圆的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形,求得的值,即可求得椭圆的方程;
(2)(ⅰ)设点的坐标为
,验证当
时,
平分
显然成立;当
由直线
的方程和椭圆的方程联立方程组,求解
中点
的坐标,即可得到结论;
(ⅱ)由(ⅰ)可知,求得和
,得到
,利用基本不等式,即可求解.
(1)由已知,得. 因为
,易解得
.
所以,所求椭圆的标准方程为
(2)设点
的坐标为
当时,
与
轴垂直
为
的中点
平分
显然成立
当由已知可得:
则直线
的方程为:
设
消去
得:
,
中点
的坐标为
又在直线
上.
综上平分线段
当
时,
则
当时,由
可知
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(当且仅当,即
时等号成立),
∴点的坐标为
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【题目】若函数满足:对于其定义域
内的任何一个自变量
,都有函数值
,则称函数
在
上封闭.
(1)若下列函数:,
的定义域为
,试判断其中哪些在
上封闭,并说明理由.
(2)若函数的定义域为
,是否存在实数
,使得
在其定义域
上封闭?若存在,求出所有
的值,并给出证明;若不存在,请说明理由.
(3)已知函数在其定义域
上封闭,且单调递增,若
且
,求证:
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率为
,椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(
-1).
(1) 求椭圆C的标准方程;
(2) 已知过点M(0,-1)的动直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点,并说明理由.
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【题目】在某次活动中,有5名幸运之星.这5名幸运之星可获得、
两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均为的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点),抛掷点数小于3的获得
奖品,抛掷点数不小于3的获得
奖品.
(1)求这5名幸运之星中获得奖品的人数大于获得
奖品的人数的概率;
(2)设、
分别为获得
、
两种奖品的人数,并记
,求随机变量
的分布列及数学期望.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点
,直线
,设圆
的半径为1, 圆心在
上.
(1)若圆心也在直线
上,过点
作圆
的切线,求切线方程;
(2)若圆上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
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【题目】渔民出海打鱼,为了保证获得的鱼新鲜,鱼被打上岸后,要在最短的时间内将其分拣、冷藏,若不及时处理,打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨,是氨的衍生物,它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降,鱼体开始变质进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间
(分)满足的函数关系式为
.若出海后10分钟,这种鱼失去的新鲜度为10%,出海后20分钟,这种鱼失去的新鲜度为20%,那么若不及时处理,打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知
,结果取整数)( )
A.33分钟B.40分钟C.43分钟D.50分钟
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【题目】已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形,以椭圆
的长轴长为直径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆
相交于
两点,探究在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,试求出定值和点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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