Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(－1)．

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)＋＝1；(2)过定点，理由见解析．

【解析】

(1) 椭圆上动点P(x0，y0)到左、右焦点的距离的最小值为a－c，结合离心率可求得，从而可得，得椭圆标准方程；

(2) 先根据直径AB竖直和水平两种情况，猜出定点可能为D(0，3)，再考虑是否为零．

(1) 由题意，得解得所以b2＝a2－c2＝9.

椭圆C的标准方程是＋＝1.

(2) 当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9；

当直线l的斜率为零时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16.

这两圆仅有唯一公共点，也是椭圆的上顶点D(0，3)．猜想以AB为直径的圆恒过定点D(0，3)．

证明如下：

(向量法) 设直线l的方程为y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．只要证＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)(kx2－4)＝0即可．

即要证＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝0.

由消去y，得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0，

Δ＝16k2＋64(1＋2k2)>0，此方程总有两个不等实根x1，x2.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝－＋16＝0.

所以DA⊥DB，所以，以AB为直径的圆恒过定点D(0，3)．