Question

【题目】如图，在直角三棱柱中，、分别为、的中点，，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）如图所示，取AB的中点M，连接MF，利用三角形中位线定理及其培训说不定判定定理可得四边形MFC1E是平行四边形，于是C1F∥EM，再利用线面平行的判定定理即可判断出结论;

（2）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，可得BB1⊥底面ABC，BB1⊥AB，再利用线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理即可证明结论;

（3）由（2）可知：AB⊥BC．可建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面ABE和平面CBE的法向量，代入公式，即可得到结果.

（1）证明：如图所示，取AB的中点M，连接MF，

则MFAC，又EC1AC，

∴EC1MF，

∴四边形MFC1E是平行四边形，

∴C1F∥EM，又C1F平面ABE；

EM平面ABE；

∴C1F∥平面ABE．

（2）证明：由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴BB1⊥底面ABC，

∴BB1⊥AB，又C1F⊥AB，BB1与C1F相交，

∴AB⊥平面ABE，又AB平面ABE，

∴平面ABE⊥平面B1BCC1；

（3）解：由（2）可知：AB⊥BC．

因此可建立如图所示的空间直角坐标系．F（0，1，0），设C1（0，2，t）（t＞0），（0，1，t）．

由题意可取平面ACC1A1的法向量为（1，1，0）．

∵直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于，

∴|cos|，

解得t＝2．

∴E（1，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），（2，0，0），（1，1，2），（0，2，0）．

设平面ABE的法向量为（x，y，z），则0，

可得：x＝0，x+y+2z＝0，取y＝2，可得：（0，2，﹣1）．

同理可得平面CBE的法向量为（2，0，﹣1）．

∴cos．

∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．