【题目】若函数满足:对于其定义域
内的任何一个自变量
,都有函数值
,则称函数
在
上封闭.
(1)若下列函数:,
的定义域为
,试判断其中哪些在
上封闭,并说明理由.
(2)若函数的定义域为
,是否存在实数
,使得
在其定义域
上封闭?若存在,求出所有
的值,并给出证明;若不存在,请说明理由.
(3)已知函数在其定义域
上封闭,且单调递增,若
且
,求证:
.
【答案】(1)在
上封闭,理由见解析;(2)存在,
,证明见解析;(3)证明见解析
【解析】
(1)根据定义域,求得函数的值域,利用新定义,即可得到结论;
(2)根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题,再利用变量分离法求解,可求a的值.
(3)函数f(x)在其定义域D上封闭,且单调递增,假设,根据单调函数性质可证假设不成立,由此能证明f(x0)=x0.
(1)当时,
,
∴在
上不封闭;
,
∴在
上封闭.
(2)设存在实数,使得
在
上封闭,
即对一切,
恒成立,
∵,∴
,
即恒成立,
∵∴
;
∵∴
.
综上,满足条件的.
(3)假设,
①若,∵
,
在
上单调递增,
∴,即
,矛盾;
②若,∵
,
,
在
上单调递增,
∴,即
,矛盾.
∴假设不成立,.
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【题目】2018年2月22日上午,山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会,会议动员各方力量,迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召,对现有设备进行改造,为了分析设备改造前后的效果,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内的产品视为合格品,否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的样本的频数分布表.
表1:设备改造后样本的频数分布表
(1)完成下面的列联表,并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关;
(2)根据图3和表1提供的数据,试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较;
(3)企业将不合格品全部销毁后,根据客户需求对合格品进行等级细分,质量指标值落在内的定为一等品,每件售价240元;质量指标值落在
或
内的定为二等品,每件售价180元;其它的合格品定为三等品,每件售价120元.根据表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为
(单位:元),求
的分布列和数学期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】如图,在长方体中,
,
,
为
的中点
(1)在所给图中画出平面与平面
的交线(不必说明理由)
(2)证明:平面
(3)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值
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【题目】如图,在直角三棱柱中,
、
分别为
、
的中点,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)若直线和平面
所成角的正弦值等于
,求二面角
的余弦值.
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【题目】①回归分析中,相关指数的值越大,说明残差平方和越大;
②对于相关系数,
越接近1,相关程度越大,
越接近0,相关程度越小;
③有一组样本数据得到的回归直线方程为
,那么直线
必经过点
;
④是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类变量适合;
以上几种说法正确的序号是__________.
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【题目】电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧 | 连续剧播放时长/min | 广告播放时长/min | 收视人次/万人 |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于,广告的总播放时长不少于
,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍,分别用
,
表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数,要使总收视人次最多,则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为( )
A.6,3B.5,2C.4,5D.2,7
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【题目】已知椭圆:
的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
(1)求的方程;
(2)设为
的左焦点,
为直线
上任意一点,过点
作
的垂线交
于两点
,
.
(i)证明:平分线段
(其中
为坐标原点);
(ii)当取最小值时,求点
的坐标。
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