Question

6．已知双曲线的一条渐近线为y-x=0，且过点（$\sqrt{5}$，1）
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线y=kx-1与上述所得双曲线只有一个公共点，求k的值．

Answer 1

分析 （1）设出方程，代入点，即可求双曲线的标准方程；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1-k²）x²+2kx-5=0．①因为直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解，分类讨论，求k的值．

解答 解：（1）依题意设双曲线方程为x²-y²=λ
又因为点（$\sqrt{5}$，1）在双曲线上，可得λ=4，
所求的双曲线方程为x²-y²=4---------------------------------------------（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1-k²）x²+2kx-5=0．①
因为直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．
当1-k²=0，即k=±1时，①式方程只有一解；
当1-k²≠0时，应满足△=4k²+20（1-k²）=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，故k的值为±1或±$\frac{\sqrt{5}}{2}$．---------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题．