Question

18．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1）（a∈R））．
（1）若a=-4，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x∈（1，+∞），函数f（x）的图象始终在x轴的下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求出f（x）在x=1处的切线斜率，利用点斜式写出切线方式；
（2）x∈（1，+∞），函数f（x）的图象始终在x轴的下方，利用导数判断函数的单调性，观察x＞1上函数值是否小于0即可．

解答 解：（1）当a=-4时，f（x）=lnx+2x-2，f'（x）=$\frac{1}{x}$+2，
∴切点为（1，0），斜率k=f'（1）=3．
所以，当a=-4时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3．
（2）若x＞1，函数f（x）的图象始终在x轴的下方，即x＞0，f（x）＜0恒成立．
∵f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1），∴f'（x）=$\frac{2-ax}{2x}$，
①当a≤0时，x＞1，f'（x）＞0
∴f（x）在x＞1上单调递增，f（x）＞f（1）=0
∴a≤0不合题意．
②当a≥2时，有0＜$\frac{2}{a}$≤1，f'（x）=$\frac{2-ax}{2X}$=-$\frac{a（x-\frac{2}{a}）}{2x}$＜0在x＞1上恒成立，
∴f（x）在x＞1上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，
∴a≥2满足题意．
③当0＜a＜2即$\frac{2}{a}$＞1时，由f'（x）＞0，可得1＜x＜$\frac{2}{a}$，由f'（x）＜0，可得x＞$\frac{2}{a}$
∴f（x）在（1，$\frac{2}{a}$）上单调递增，在（$\frac{2}{a}$，+∞）上单调递减，
∴f（$\frac{2}{a}$）＞f（1）=0
∴0＜a＜2不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题主要考查了导数与切线方程求法，利用导数求函数的单调性与最值，属中等题．