Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，且E为PB的中点AC与BD交于点M，
（1）求证：ME∥PD；
（2）当PD=

2

AB，求AE与平面PBD所成的角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由底面ABCD是正方形，AC与BD交于点M，知M是BD中点，又E为PB的中点，由此能证明ME∥PD．
（2）由已知条件得AM⊥BD，从而AM⊥平面PBD，进而∠AEM是AE与平面PBD所成的角，由此能求出AE与平面PBD所成的角的正切值．

解答： （1）证明：∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点M，
∴M是BD中点，又E为PB的中点，
∴ME是△PBD的中位线，
∴ME∥PD．
（2）解：∵PD⊥底面ABCD，ME∥PD，
∴ME⊥底面ABCD，∴AM⊥EM，
又底面ABCD是正方形，AC与BD交于点M，
∴AM⊥BD，又BD∩EM=M，
∴AM⊥平面PBD，
∴∠AEM是AE与平面PBD所成的角，
∵PD=

2

AB，∴EM=

1

2

PD=

2

2

AB，
∵AM=

1

2

AC=

1

2

2AB2

=

2

2

AB，
∴tan∠AEM=

AM

EM

=1．
∴AE与平面PBD所成的角的正切值为1．

点评：本题考查直线与直线平行的证明，考查线面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．