Question

1．已知函数$f（x）=2ax-\frac{1}{x}-（{a+2}）lnx（{a≥0}）$．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=1时，若对于任意的x₁，x₂∈[1，4]，都有$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|＜\frac{27}{4}-2mln2$成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于x的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）根据函数的单调性得到$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤f（4）-f（1）=\frac{27}{4}-6ln2$，从而求出m的范围即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（Ⅰ）当a=0时，$f（x）=-\frac{1}{x}-2lnx$，$f'（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{1-2x}{x^2}$． …（1分）
当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间$（{0\;\;，\;\;\frac{1}{2}}）$上单调递增；…（2分）
当$x＞\frac{1}{2}$时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;+∞}）$上单调递减；…（3分）
所以，当$x=\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得极大值为$f（{\frac{1}{2}}）=2ln2-2$；不存在极小值． …（4分）
（Ⅱ）当a＞0时，$f'（x）=2a+\frac{1}{x^2}-\frac{2+a}{x}=\frac{{2a{x^2}-（{2+a}）x+1}}{x^2}$=$\frac{{（{2x-1}）（{ax-1}）}}{x^2}$． …（5分）
由f'（x）=0，得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{1}{a}$． …（6分）
①当$\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$，即a＞2时，由f'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{a}$或$x＞\frac{1}{2}$；
由f'（x）＜0，得$\frac{1}{a}＜x＜\frac{1}{2}$，
所以函数f（x）在区间$（{0\;\;，\;\;\frac{1}{a}}）$，$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;+∞}）$上单调递增，在区间$（{\frac{1}{a}\;\;，\;\;\frac{1}{2}}）$上单调递减；…（7分）
②当$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，即a=2时，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；…（8分）
③当$\frac{1}{a}＞\frac{1}{2}$，即0＜a＜2时，由f'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$或$x＞\frac{1}{a}$；由f'（x）＜0，得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{a}$，
所以函数f（x）在区间$（{0\;\;，\;\;\frac{1}{2}}）$，$（{\frac{1}{a}\;\;，\;\;+∞}）$上单调递增，在区间$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;\frac{1}{a}}）$上单调递减． …（9分）
综上所述，当a＞2时，函数f（x）在区间$（{0\;\;，\;\;\frac{1}{a}}）$，$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;+∞}）$上单调递增，
在区间$（{\frac{1}{a}\;\;，\;\;\frac{1}{2}}）$上单调递减；
当a=2时，函数函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜2时，函数f（x）在区间$（{0\;\;，\;\;\frac{1}{2}}）$，$（{\frac{1}{a}\;\;，\;\;+∞}）$上单调递增，
在区间$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;\frac{1}{a}}）$上单调递减．…（10分）
（Ⅲ）当a=1时，由（Ⅱ）知，函数f（x）在区间[1，4]上是增函数，
所以$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤f（4）-f（1）=\frac{27}{4}-6ln2$，…（11分）
因为对于任意的x₁，x₂∈[1，4]，都有$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|＜\frac{27}{4}-2mln2$成立，
所以$\frac{27}{4}-6ln2＜\frac{27}{4}-2mln2$恒成立，…（12分）
解得m＜3，…（13分）
故m的取值范围为（-∞，3）． …（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．