Question

11．已知当x＜1时，f（x）=（2-a）x+1；当x≥1时，f（x）=a^x（a＞0且a≠1）．若对任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． $（1，\frac{3}{2}]$
• C． $[\frac{3}{2}，2）$
• D． （0，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得f（x）在R上单调递增，分别运用一次函数和指数函数的单调性，以及单调性的定义，得到a的不等式，求交集，即可得到所求范围．

解答 解：对任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，
即为f（x）在R上单调递增，
由当x＜1时，f（x）=（2-a）x+1，可得2-a＞0，
解得a＜2；①
又当x≥1时，f（x）=a^x（a＞0且a≠1），
可得a＞1；②
又f（x）在R上单调递增，可得
2-a+1≤a，解得a≥$\frac{3}{2}$③
由①②③可得$\frac{3}{2}$≤a＜2，
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性的判断，注意运用一次函数和指数函数的单调性，以及单调性的定义，考查运算能力，属于中档题和易错题．