Question

13．在直角坐标系xOy中，直线l₁的方程为y=$\sqrt{3}$x，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosφ\\ y=\sqrt{3}sinφ\end{array}$（φ是参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）分别写出直线l₁与曲线C的极坐标方程；
（2）若直线${l_2}：2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}$=0，直线l₁与曲线C的交点为A，直线l₁与l₂的交点为B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）根据tanθ=$\frac{y}{x}$可得直线l₁极坐标．利用x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得曲线C的极坐标方程．
（2）由题意，设A（ρ₁，θ₁），联立方程组求解，同理，设利用直线的极坐标的几何意义求解即可．

解答 解：（1）直线l₁的方程为y=$\sqrt{3}$x，
可得：tanθ=$\frac{y}{x}$=$\sqrt{3}$，
∴直线l₁的极坐标方程为$θ=\frac{π}{3}$．
曲线C的普通方程为（x-1）²+y²=3，
又∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-2=0（0≤θ≤π）
（2）由题意，设A（ρ₁，θ₁），则有$\left\{\begin{array}{l}{ρ-2ρcosθ-2=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得：${ρ}_{1}=2，{θ}_{1}=\frac{π}{3}$
设B（ρ₂，θ₂），则有$\left\{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得：${ρ}_{2}=-3，{θ}_{2}=\frac{π}{3}$
故得|AB|=|ρ₁-ρ₂|=5．

点评 本题主要考查了参数方程，极坐标方程的转换，以及利用极坐标的几何意义求解长度问题．属于基础题．