Question

2．已知公比不为1的等比数列{a_n}的前5项积为243，且2a₃为3a₂和a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=b_n-1•log₃a_n+2（n≥2且n∈N*），且b₁=1，求数列$\left\{{\frac{（n-1）!}{{{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的性质可得a₃=3，设等比数列的公比为q，运用等差数列中项的性质，结合等比数列通项公式，解得q=3，即可得到所求数列{a_n}的通项公式；
（2）求得b_n=b_n-1•log₃a_n+2=b_n-1•n，运用数列恒等式b_n=b₁•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$…$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=n!，求出$\frac{（n-1）!}{{{b_{n+1}}}}=\frac{（n-1）!}{（n+1）!}=\frac{1}{（n+1）n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，运用裂项相消求和即可得到所求和．

解答 解：（1）由前5项积为243，即为a₁a₂a₃a₄a₅=243，
即有a₁a₅=a₂a₄=a₃²，即a₃⁵=243，
得：a₃=3，设等比数列的公比为q，
由2a₃为3a₂和a₄的等差中项得：4a₃=3a₂+a₄，
即$3•\frac{3}{q}+3q=4×3$，
由公比不为1，解得：q=3，
所以a_n=a₃q^n-3，
即${a_n}={3^{n-2}}$．
（2）由b_n=b_n-1•log₃a_n+2=b_n-1•n，
得${b_n}=\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}•\frac{{{b_{n-1}}}}{{{b_{n-2}}}}•…•\frac{b_2}{b_1}•{b_1}=n•（n-1）…2•1=n!$，
数列$\frac{（n-1）!}{{{b_{n+1}}}}=\frac{（n-1）!}{（n+1）!}=\frac{1}{（n+1）n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以它的前n项和${S_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式的运用，考查数列恒等式和求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．