Question

4．在△ABC中，∠ACB=120°，D是 AB 上一点，满足∠ADC=60°，CD=2，若CB$≥\sqrt{6}$，则∠ACD的最大值为105^°．

Answer 1

分析 如图所示，过C作CE⊥AB，垂足为E．在Rt△CED中，可得CE=$\sqrt{3}$，∠ECD=30°．在Rt△CEB中，由CB$≥\sqrt{6}$，可得cos∠BCE=$\frac{CE}{CB}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出．

解答 解：如图所示，过C作CE⊥AB，垂足为E．
在Rt△CED中，∠ADC=60°，CD=2，
∴CE=2sin60°=$\sqrt{3}$，∠ECD=30°．
在Rt△CEB中，∵CB$≥\sqrt{6}$，
则cos∠BCE=$\frac{CE}{CB}$≤$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴90^°＞∠BCE≥45^°．
∴∠BCD≥15^°，
∴∠ACD≤120^°-15^°=105^°．
故答案为：105°．

点评 本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．