Question

如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若＝xe₁＋ye₂(其中e₁、e₂分别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，则P点斜坐标为(x，y)．

(1)若P点斜坐标为(2，－2)，求P到O的距离|PO|；
(2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．

Answer 1

（1）|OP|＝2（2）x²＋y²＋xy＝1

(1)∵P点斜坐标为(2，－2)，∴＝2e₁－2e₂.
∴||²＝(2e₁－2e₂)²＝8－8e₁·e₂＝8－8×cos60°＝4.
∴||＝2，即|OP|＝2.
(2)设圆上动点M的斜坐标为(x，y)，则＝xe₁＋ye₂.
∴(xe₁＋ye₂)²＝1.∴x²＋y²＋2xye₁·e₂＝1.∴x²＋y²＋xy＝1.
故所求方程为x²＋y²＋xy＝1.